diferenciál

[Dyferenciál, latina] pojem z diferenciálního počtu, sloužící k přibližnému vyjádření hodnoty (průběhu) funkce v okolí pevného bodu. Umožňuje lineárně aproximovat (nahradit) danou funkci v malém okolí zvoleného bodu a je úzce spojen s pojmem derivace.

V případě reálné funkce jedné proměnné \(y = f(x)\) se diferenciál v bodě \(x\) definuje jako: \[ \mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x, \] kde \(f'(x)\) je derivace funkce \(f\) v bodu \(x\), a \(\mathrm{d}x\) značí nekonečně malou (formální) změnu argumentu \(x\). Diferenciál \(\mathrm{d}y\) lze interpretovat jako nejlepší lineární (tedy přímkovou) aproximaci změny funkce \(f\) v bezprostředním okolí bodu \(x\).

V aplikacích se diferenciál využívá například při výpočtu přibližných změn funkcí, kdy platí, že pro malé \(\Delta x\) (malou změnu argumentu \(x\)) je: \[ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\,\Delta x, \] což se přímo opírá o myšlenku diferenciálu \(\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x\).

Obecnější verze se používá pro funkce více proměnných. Pokud máme funkci \(z = f(x, y)\), je její totální diferenciál v bodu \((x, y)\) dán vztahem: \[ \mathrm{d}z = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,\mathrm{d}y, \] kde výrazy \(\tfrac{\partial f}{\partial x}\) a \(\tfrac{\partial f}{\partial y}\) jsou parciální derivace funkce \(f\). Také zde platí, že totální diferenciál poskytuje nejlepší lineární aproximaci změny funkce v okolí daného bodu.

Z historického hlediska vznikla myšlenka diferenciálu v rámci infinitesimálního počtu, kdy se \(\mathrm{d}x\) a \(\mathrm{d}y\) chápaly jako „nekonečně malé“ přírůstky. Moderní matematická analýza však místo „nekonečně malých“ pracuje s pojmy derivace a limit, přičemž diferenciály lze vnímat jako formální nástroje usnadňující a zpřehledňující výpočty (a též jako součást diferenciálních forem v pokročilejších teoriích).