Diracova distribuce

Delta funkce, zobecněná funkce jedné nezávislé proměnné, tj. spojitý lineární funkcionál na prostoru nekonečněkrát derivovatelných finitních funkcí, který přiřazuje každé funkci \( \phi \) její hodnotu \( \phi(0) \). Diracova distribuce umožňuje zapsat prostorovou hustotu fyzikálních veličin (hmotnost, náboj), jsou-li tyto veličiny soustředěny v jediném bodě prostoru. Nejedná se o obyčejnou funkci v klasickém smyslu, i když původně byla interpretována jako „funkce delta“ taková, že \( \delta(x) = 0 \) pro každé \( x \neq 0 \) a zároveň

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1\).

Právě „rozporuplné“ vlastnosti této konstrukce vedly k rozvoji matematické teorie distribucí (zobecněných funkcí), která fyzikálním představám dala pevný základ.

Kromě definice samotné Diracovy distribuce je důležitá také její saturační vlastnost („sifting property“). Formálně platí, že pro každou spojitou funkci \( f \) a reálné číslo \( a \): \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x - a)\,dx = f(a). \] Využití Diracovy distribuce proto nacházíme v mnoha fyzikálních i technických aplikacích, zejména při popisu bodových zdrojů (hmotnost, náboj apod.) nebo v signálovém zpracování.