Fourierova řada

Způsob reprezentace periodické funkce jako součtu sinusových a kosinusových funkcí různých frekvencí. Tato řada je klíčovým nástrojem v analýze signálů, řešení parciálních diferenciálních rovnic a ve fyzice.

Nechť \( f(x) \) je periodická funkce s periodou \( T \), tedy \( f(x + T) = f(x) \). Fourierova řada této funkce se zapisuje jako:

\[ f(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right), \]

kde Fourierovy koeficienty \( a_n \) a \( b_n \) se počítají pomocí integrálů:

\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \,dx, \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \,dx. \]

Koeficient \( a_0 \) se určuje jako:

\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \,dx. \]

Fourierovy řady umožňují rozklad funkcí na složky s různými frekvencemi, což se využívá například v analýze zvuku, obrazu, řešení tepelných rovnic a dalších aplikacích ve fyzice a inženýrství.

Existuje také zobecnění Fourierovy řady na funkce, které nejsou nutně periodické – tzv. Fourierova transformace, která umožňuje přechod mezi časovou a frekvenční doménou.