Liouvillův teorém

Základní tvrzení v hamiltonovské mechanice a statistické fyzice, podle něhož zůstává tzv. rozdělovací (distribuční) funkce konstantní podél fázových trajektorií uzavřených (izolovaných) hamiltonovských systémů.

V rámci klasické statistické mechaniky se rozdělovací funkcí rozumí funkce \(\displaystyle \rho(q_1,\dots,q_n; p_1,\dots,p_n)\), která v fázovém prostoru (q, p) popisuje pravděpodobnost (relativní četnost) realizace jednotlivých stavů daného systému. Liouvilleův teorém tvrdí, že pro uzavřený systém podléhající Hamiltonovým rovnicím zůstává \(\rho\) v čase podél trajektorií konstantní, tedy neboli: \[ \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} \;=\; 0. \]

Geometricky můžeme tuto skutečnost vnímat jako „nezhušťování“ či „nezřeďování“ svazku trajektorií ve fázovém prostoru, a tedy zachování objemu (míry) v tomto prostoru (tzv. „symplektická struktura“). Díky Liouvilleovu teorému lze v klasické statistické fyzice uvažovat o tom, že výchozí rovnovážná distribuční funkce se v čase pro izolovaný systém nemění.