Lipschitzova podmínka

Podmínka, vyjadřující omezení na růst (přírůstek) funkce vzhledem k proměnné. Nechť je funkce \( f \) definována na intervalu \( D \subset (-\infty, \infty) \). Jestliže existuje konstanta \( L \ge 0 \) taková, že pro všechna \( x, y \in D \) platí: \[ |f(x) - f(y)| \,\le\, L\,|x - y|, \] pak říkáme, že funkce \( f \) splňuje na \( D \) Lipschitzovu podmínku a \( L \) se nazývá její Lipschitzova konstanta.

Jednoduchým příkladem je reálná funkce jedné proměnné, jejíž derivace je na intervalu \( D \) ohraničená, tj. \( |f'(x)| \le M \) pro všechna \( x \in D \). Z toho pak vyplývá, že \( f \) je na \( D \) Lipschitzovská s Lipschitzovou konstantou \( L = M \).

Analogicky se Lipschitzova podmínka formuluje i pro zobecněná zobrazení, například funkce více proměnných, funkce komplexní proměnné či operátory v rámci metrických prostorů. V těchto případech rovněž požadujeme, aby se změna výstupu nedala zvětšit o víc, než je násobek změny vstupu.