Pauliho matice

Speciální hermitovské a unitární matice, které hrají klíčovou roli v kvantové mechanice, zejména při popisu spinových operátorů. Pojmenovány jsou po švýcarském fyzikovi Wolfgangu Ernstu Pauli, jenž významně přispěl k teorii kvantového spinu. Matice jsou tři a značí se jako \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) a \(\sigma_z\).

Matice \(\sigma_x\) je dána vztahem: \(\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\),

matice \(\sigma_y\) vztahem: \(\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\),

a matice \(\sigma_z\) vztahem: \(\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).

Tyto matice jsou základními stavebními kameny algebraických operací na dvourozměrném Hilbertově prostoru.

Pauliho matice splňují antikomutační relace:

\(\{\sigma_i, \sigma_j\} = 2 \delta_{ij} I\),

kde \(\delta_{ij}\) je Kroneckerova delta a \(I\) je jednotková matice.

Také platí komutační relace:

\([\sigma_i, \sigma_j] = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k\),

kde \(\epsilon_{ijk}\) je Levi-Civitův symbol.

Tyto relace ukazují, že Pauliho matice tvoří uzavřenou algebru, známou jako Lieova algebra, která je významná při studiu rotací v kvantové mechanice. Pauliho matice se také používají k reprezentaci spinových operátorů, neboť jsou úzce spojeny se skupinou SU(2), jež popisuje rotace částic s polovičním spinem.

Díky své univerzálnosti se Pauliho matice využívají nejen v kvantové mechanice, ale také v kvantové teorii pole a dalších oblastech fyziky. Jejich jednoduchá struktura umožňuje snadné výpočty při studiu systémů, které zahrnují dvě kvantové stavy.