Banachův prostor

Úplný normovaný vektorový prostor, tedy metrický prostor, v němž lze měřit délky vektorů a vzdálenosti mezi nimi, a který je zároveň kompletní (každá Cauchyho posloupnost v něm konverguje k nějakému vektoru v tomtéž prostoru). Banachovy prostory jsou důležitým nástrojem v funkcionální analýze.

Formálně je Banachův prostor \(\mathcal{B}\) vektorový prostor nad reálnými nebo komplexními čísly, vybavený normou \(\|\cdot\|\), splňující:

• \(\|x\| \geq 0\) a \(\|x\| = 0\) právě tehdy, když \(x = 0\).
• \(\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|\) pro všechna čísla \(\alpha\).
• \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\) (trojúhelníková nerovnost).

Z normy lze odvodit přirozenou metriku na Banachově prostoru: \[ d(x, y) = \|x - y\|, \] což umožňuje studovat vlastnosti související s konvergencí a spojitostí.

Banachův prostor je kompletní, což znamená, že každá Cauchyho posloupnost \(\{x_n\}\) má limitu v prostoru \(\mathcal{B}\), tedy: \[ \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N, \quad \forall m, n > N: \quad \|x_m - x_n\| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad \exists x \in \mathcal{B}: \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x. \]

Příklady Banachových prostorů zahrnují:

• \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{C}^n\) s normou \[ \|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \dots + |x_n|^2}. \]
• Funkční prostor \(L^p(a, b)\) pro \(1 \leq p < \infty\) s normou \[ \|f\|_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p}. \]
• Sekvenční prostor \(\ell^p\), kde \(\{x_n\}\) je posloupnost splňující \[ \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty. \]

Banachovy prostory hrají zásadní roli v teorii diferenciálních rovnic, spektrální analýze operátorů a moderní teorii pravděpodobnosti. Důležitými případy Banachovu prostoru jsou euklidovské prostory a Hilbertovy prostory.