Hilbertův prostor

Kompletní metrický vektorový prostor se skalárním součinem, který hraje klíčovou roli v matematické analýze a kvantové mechanice. Jedná se o obecnější pojem než eukleidovský prostor, protože umožňuje pracovat s nekonečněrozměrnými prostory funkcí.

Hilbertův prostor \(\mathcal{H}\) je vektorový prostor nad tělesem reálných nebo komplexních čísel, vybavený skalárním součinem \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), který splňuje následující vlastnosti:

• \(\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}\) (Hermitovská symetrie).
• \(\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle\) (linearita).
• \(\langle \alpha x, y \rangle = \alpha \langle x, y \rangle\) pro všechna čísla \(\alpha\).
• \(\langle x, x \rangle \geq 0\) a \(\langle x, x \rangle = 0\) právě tehdy, když \(x = 0\).

Metrika v Hilbertově prostoru se definuje normou \(\|x\|\), odvozenou ze skalárního součinu: \[ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}. \] Kompletnost znamená, že každá Cauchyovská posloupnost vektoru v \(\mathcal{H}\) konverguje k nějakému vektoru v \(\mathcal{H}\).

Příklady Hilbertových prostorů

• \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{C}^n\) se standardním skalárním součinem.
• Funkční prostor \(L^2(a, b)\) s normou \[ \|f\|_2 = \left( \int_a^b |f(x)|^2\,dx \right)^{1/2}. \]
• Sekvenční prostor \(\ell^2\), tedy množina všech nekonečných posloupností \((x_n)\), pro které platí: \[ \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty. \]

Vlastnosti

Hilbertovy prostory jsou základním nástrojem v kvantové mechanice, kde stavové vektory reprezentují stavy fyzikálních systémů. V matematické analýze jsou důležité díky možnosti rozkladu funkcí do ortogonálních bází (např. Fourierovy řady). Klíčovými koncepty jsou:

• Ortogonalita: Vektory \(x, y\) jsou ortogonální, pokud \(\langle x, y \rangle = 0\).
• Ortonormální báze: Spočetná ortonormální množina \(\{e_n\}\) tvoří bázi Hilbertova prostoru, pokud pro každý vektor \(x\) platí: \[ x = \sum_{n=1}^{\infty} \langle x, e_n \rangle e_n. \]
• Rieszova věta: Každý spojitý lineární funkcionál na Hilbertově prostoru lze vyjádřit jako skalární součin s pevným vektorem.