Lebesgueův-Stieltjesův integrál

Jedna z variant pojmu integrál. Jsou-li \( f \) a \( m \) reálné funkce definované na intervalu \(\langle a, b \rangle\) a je-li funkce \( m \) neklesající, lze Lebesgueův–Stieltjesův integrál přibližně vyjádřit pomocí součtů:

\[ \sum_{i = 1}^{k} f(c_i)\, \bigl( m(a_i) - m(a_{i-1}) \bigr), \]

kde dělení \( a = a_0 < a_1 < \dots < a_k = b \) a body \( c_i \) splňují podmínky \( a_{i-1} \leq c_i \leq a_i \). Přesné podmínky na taková dělení a body \( c_i \) jsou technicky složitější a závisí na vlastnostech funkcí \( f \) a \( m \).

Lebesgueův–Stieltjesův integrál zobecňuje Riemannův i klasický Lebesgueův integrál tím, že integrace neprobíhá vůči proměnné \( x \), ale vůči funkci \( m(x) \), která slouží jako tzv. integrační míra. Tento přístup umožňuje přesně zachytit případy, kdy funkce \( f \) není integrovatelná v klasickém smyslu, ale lze ji integrovat vůči diskrétní nebo skokové funkci \( m \).

Integrál se používá také v případě funkcí více reálných proměnných, zejména v teorii pravděpodobnosti, statistice nebo v analýze náhodných procesů.