lineární prostor

Lineární prostor nad tělesem \( K \) reálných nebo komplexních čísel je množina \( E \), ve které jsou definovány dvě operace:

• Sčítání vektorů: pro každé \( x, y \in E \) existuje jejich součet \( x + y \in E \).
• Skalární násobení: pro každé \( \lambda \in K \) a \( x \in E \) existuje skalární násobek \( \lambda x \in E \).

Tyto operace splňují následující axiomy lineárního prostoru pro všechna \( x, y, z \in E \) a \( \lambda, \mu \in K \):

• \( x + y = y + x \) (komutativita sčítání).
• \( (x + y) + z = x + (y + z) \) (asociativita sčítání).
• Existuje jediný nulový vektor \( 0 \in E \) tak, že \( x + 0 = x \) pro každé \( x \).
• Ke každému \( x \in E \) existuje opačný vektor \( -x \in E \), že \( x + (-x) = 0 \).
• \( 1 \cdot x = x \) (neutrální prvek násobení).
• \( \lambda (\mu x) = (\lambda \mu) x \) (asociativita násobení).
• \( \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y \) a \( (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x \) (distributivita násobení).

Lineární prostor se také nazývá vektorový prostor a jeho prvky jsou vektory. Je-li těleso \( K \) množina reálných čísel, mluvíme o reálném lineárním prostoru, je-li \( K \) množina čísel komplexních, jedná se o komplexní lineární prostor.

Příklad: Vektorový prostor \( \mathbb{R}^n \)

Prostor \( \mathbb{R}^n \) (n-tic reálných čísel) je reálný lineární prostor, pokud jsou operace sčítání a skalárního násobení definovány následovně:

\[ [x_1, x_2, \dots, x_n] + [y_1, y_2, \dots, y_n] = [x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n], \]

\[ \lambda [x_1, x_2, \dots, x_n] = [\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n]. \]

Tento prostor se přirozeně rozšiřuje i na prostor \( \mathbb{C}^n \) při tělese komplexních čísel.